दिखाएँ कि सभी आयतों में अंकित एक निश्चित सर्कल दिए गए, स्क्वेयर में मैक्सिमम है क्षेत्र।
Answer
Let ABCD be the rectangle which is inscribed in a fixed circle whose centre is O and radius b. Let AB = 2x and BC = 2y.
In right-angled \(\Delta\)OPA by Pythagoras theorem,
we have
AP2 + OP2 = OA2
\(\Rightarrow \quad x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = b ^ { 2 }\)
\(\Rightarrow \quad y ^ { 2 } = b ^ { 2 } - x ^ { 2 }\)
\(\Rightarrow \quad y = \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } }\) ...(i)
Let A be the area of the rectangle.
\(\therefore\) A = (2x) (2y) [\(\because\) area of rectangle = length \(\times\) breadth]
\(\Rightarrow \quad A = 4 x y\)
\(\Rightarrow \quad A = 4 x \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \quad \left[ \because \quad y = \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \right]\)
Therefore, on differentiating both sides w.r.t. x, we get,
\(\frac { d A } { d x } = 4 x \cdot \frac { d } { d x } \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } + \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \cdot \frac { d } { d x } ( 4 x )\) [by using product rule of derivative]
\(\Rightarrow \frac { d A } { d x } = 4 x \cdot \frac { - 2 x } { 2 \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } + \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \cdot 4\)
\(= 4 \left[ \frac { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \right]\)
\(\Rightarrow \frac { d A } { d x } = 4 \left( \frac { b ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } } { \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \right)\)
For maxima or minima, put \(\frac { d A } { d x } = 0\)
\(\therefore \quad 4 \left( \frac { b ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } } { \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \right) = 0\)
\(\Rightarrow \quad b ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } = 0\)
\(\Rightarrow \quad 2 x ^ { 2 } = b ^ { 2 }\)
\(\Rightarrow \quad x = \frac { b } { \sqrt { 2 } }\) [\(\because\) x cannot be negative]
Also, \(\frac { d ^ { 2 } A } { d x ^ { 2 } } = \frac { d } { d x } \left( \frac { d A } { d x } \right) = \frac { d } { d x } \left[ \frac { 4 \left( b ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } \right) } { \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \right]\)
\(\Rightarrow \quad \frac { d ^ { 2 } A } { d x ^ { 2 } } = \frac { d } { d x } \left[ 4 \left( b ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } \right) \left( b ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \right]\)
\( \Rightarrow \quad \frac{{{d^2}A}}{{d{x^2}}}\) \( = 4\left[ { - 4x{{\left( {{b^2} - {x^2}} \right)}^{ - 1/2}} + \left( {{b^2} - 2{x^2}} \right)\left( { - \frac{1}{2}} \right){{\left( {{b^2} - {x^2}} \right)}^{ - 3/2}}( - 2x)} \right]\) [by using product rule of derivative]
\(\Rightarrow \quad \frac { d ^ { 2 } A } { d x ^ { 2 } } = 4 \left[ \frac { - 4 x } { \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } + \frac { x \left( b ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } \right) } { \left( b ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } \right]\)
On putting \(x = \frac { b } { \sqrt { 2 } }\), we get
\(\frac { d ^ { 2 } A } { d x ^ { 2 } } = 4 \left[ \frac { \frac { - 4 b } { \sqrt { 2 } } } { \sqrt { b ^ { 2 } - \frac { b ^ { 2 } } { 2 } } } + \frac { \frac { b } { \sqrt { 2 } } \left( b ^ { 2 } - 2 \frac { b ^ { 2 } } { 2 } \right) } { \left( b ^ { 2 } - \frac { b ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } \right]\)
\(= 4 \left[ \frac { \frac { - 4 b } { \sqrt { 2 } } } { \sqrt { \frac { b ^ { 2 } } { 2 } } } +0\right]\)
\(\Rightarrow \quad \frac { d ^ { 2 } A } { d x ^ { 2 } } = - 16 < 0\)
\(\therefore \frac { d ^ { 2 } A } { d x ^ { 2 } } < 0\). Therefore, A is maximum at \(x = \frac { b } { \sqrt { 2 } }\)
Now, on putting \(x = \frac { b } { \sqrt { 2 } }\) in Eq. (i), we get
\(y = \sqrt { b ^ { 2 } - \frac { b ^ { 2 } } { 2 } } = \sqrt { \frac { b ^ { 2 } } { 2 } } = \frac { b } { \sqrt { 2 } }\)
\(\therefore \quad x = y = \frac { b } { \sqrt { 2 } } \Rightarrow 2 x = 2 y = \sqrt { 2 } b\)
Thus, area of rectangle is maximum, when 2x = 2y, i.e. when rectangle is a square
In right-angled \(\Delta\)OPA by Pythagoras theorem,
we have
AP2 + OP2 = OA2
\(\Rightarrow \quad x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = b ^ { 2 }\)
\(\Rightarrow \quad y ^ { 2 } = b ^ { 2 } - x ^ { 2 }\)
\(\Rightarrow \quad y = \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } }\) ...(i)
Let A be the area of the rectangle.
\(\therefore\) A = (2x) (2y) [\(\because\) area of rectangle = length \(\times\) breadth]
\(\Rightarrow \quad A = 4 x y\)
\(\Rightarrow \quad A = 4 x \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \quad \left[ \because \quad y = \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \right]\)
Therefore, on differentiating both sides w.r.t. x, we get,
\(\frac { d A } { d x } = 4 x \cdot \frac { d } { d x } \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } + \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \cdot \frac { d } { d x } ( 4 x )\) [by using product rule of derivative]
\(\Rightarrow \frac { d A } { d x } = 4 x \cdot \frac { - 2 x } { 2 \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } + \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \cdot 4\)
\(= 4 \left[ \frac { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \right]\)
\(\Rightarrow \frac { d A } { d x } = 4 \left( \frac { b ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } } { \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \right)\)
For maxima or minima, put \(\frac { d A } { d x } = 0\)
\(\therefore \quad 4 \left( \frac { b ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } } { \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \right) = 0\)
\(\Rightarrow \quad b ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } = 0\)
\(\Rightarrow \quad 2 x ^ { 2 } = b ^ { 2 }\)
\(\Rightarrow \quad x = \frac { b } { \sqrt { 2 } }\) [\(\because\) x cannot be negative]
Also, \(\frac { d ^ { 2 } A } { d x ^ { 2 } } = \frac { d } { d x } \left( \frac { d A } { d x } \right) = \frac { d } { d x } \left[ \frac { 4 \left( b ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } \right) } { \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \right]\)
\(\Rightarrow \quad \frac { d ^ { 2 } A } { d x ^ { 2 } } = \frac { d } { d x } \left[ 4 \left( b ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } \right) \left( b ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \right]\)
\( \Rightarrow \quad \frac{{{d^2}A}}{{d{x^2}}}\) \( = 4\left[ { - 4x{{\left( {{b^2} - {x^2}} \right)}^{ - 1/2}} + \left( {{b^2} - 2{x^2}} \right)\left( { - \frac{1}{2}} \right){{\left( {{b^2} - {x^2}} \right)}^{ - 3/2}}( - 2x)} \right]\) [by using product rule of derivative]
\(\Rightarrow \quad \frac { d ^ { 2 } A } { d x ^ { 2 } } = 4 \left[ \frac { - 4 x } { \sqrt { b ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } + \frac { x \left( b ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } \right) } { \left( b ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } \right]\)
On putting \(x = \frac { b } { \sqrt { 2 } }\), we get
\(\frac { d ^ { 2 } A } { d x ^ { 2 } } = 4 \left[ \frac { \frac { - 4 b } { \sqrt { 2 } } } { \sqrt { b ^ { 2 } - \frac { b ^ { 2 } } { 2 } } } + \frac { \frac { b } { \sqrt { 2 } } \left( b ^ { 2 } - 2 \frac { b ^ { 2 } } { 2 } \right) } { \left( b ^ { 2 } - \frac { b ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } \right]\)
\(= 4 \left[ \frac { \frac { - 4 b } { \sqrt { 2 } } } { \sqrt { \frac { b ^ { 2 } } { 2 } } } +0\right]\)
\(\Rightarrow \quad \frac { d ^ { 2 } A } { d x ^ { 2 } } = - 16 < 0\)
\(\therefore \frac { d ^ { 2 } A } { d x ^ { 2 } } < 0\). Therefore, A is maximum at \(x = \frac { b } { \sqrt { 2 } }\)
Now, on putting \(x = \frac { b } { \sqrt { 2 } }\) in Eq. (i), we get
\(y = \sqrt { b ^ { 2 } - \frac { b ^ { 2 } } { 2 } } = \sqrt { \frac { b ^ { 2 } } { 2 } } = \frac { b } { \sqrt { 2 } }\)
\(\therefore \quad x = y = \frac { b } { \sqrt { 2 } } \Rightarrow 2 x = 2 y = \sqrt { 2 } b\)
Thus, area of rectangle is maximum, when 2x = 2y, i.e. when rectangle is a square
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